设直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$，则直线的方程方程为\[l:\begin{cases} x=-c+t\cos\theta,\\ y=t\sin \theta,\end{cases}\]不妨设 $A$ 在直线 $bx+ay=0$ 上，$B$ 在直线 $bx-ay=0$ 上，点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，则\[t_1=\dfrac{bc}{b\cos\theta+a\sin\theta},t_2=\dfrac{bc}{b\cos\theta-a\sin\theta}.\]取 $A,B$ 的中点 $M$，由 $|F_2A|=|F_2B|$ 可得 $F_2M\perp l$，于是\[|F_1M|=|F_1F_2|\cdot \cos\theta,\]从而\[\dfrac{t_1+t_2}2=2c\cdot\cos\theta,\]整理得\[\dfrac{b^2}{b^2\cos^2\theta-a^2\sin^2\theta}=2.\]根据正弦定理，有\[|OA|=|AF_1|\cdot \dfrac{c\sin\theta}{b}=t_1\cdot \dfrac{c\sin\theta}b,\]类似的，有\[|OB|=t_2\cdot \dfrac{c\sin\theta}b,\]于是\[t_1\cdot t_2\cdot \dfrac{c^2\sin^2\theta}{b^2}=(t_2-t_1)^2,\]整理得\[\dfrac{b^2}{b^2\cos^2\theta-a^2\sin^2\theta}=\dfrac{c^2}{4a^2},\]从而可得双曲线 $E$ 的离心率 $e=2\sqrt 2$．