已知 $\triangle ABC$ 中，$AB:AC=\sqrt 2:1$，$BC=2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 2\sqrt 2 $
【解析】
利用阿波罗尼斯圆．如图，$\triangle ABC$ 的顶点 $A$ 的轨迹为圆 $O$，设圆的半径为 $r$．
根据阿波罗尼斯圆的性质，有 $\dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OC}=\sqrt 2$，又 $OB-OC=BC=2$，从而可以解得 $r=2\sqrt 2$．因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac 12\cdot BC\cdot r=2\sqrt 2$．
根据阿波罗尼斯圆的性质，有 $\dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OC}=\sqrt 2$，又 $OB-OC=BC=2$，从而可以解得 $r=2\sqrt 2$．因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac 12\cdot BC\cdot r=2\sqrt 2$．
答案
解析
备注
