已知 $f(x)=x{\rm e}^{-x}$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，其中 $x_1<x_2$，求证：$2x_1+x_2>{\rm e}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$，则由 $x_1{\rm e}^{-x_1}=x_2{\rm e}^{-x_2}$ 可得$$\ln x_1-x_1=\ln (tx_1)-tx_1,$$从而解得$$x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},$$于是原命题等价于$$\forall t>1,\dfrac{t+2}{t-1}\cdot \ln t>{\rm e}.$$先尝试清君侧 设函数 $g(x)=\ln x-\dfrac{{\rm e}(x-1)}{x+2}$，则其导函数为$$g'(x)=\dfrac{x^2+(4-3{\rm e})x+4}{x(x+2)^2},$$可以估计出其极值点约为 $x={\rm e}$，但极值很难求出．
再尝试放缩 我们熟知当$$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},x>1,$$于是可得$$ \dfrac{x+2}{x-1}\cdot \ln x>\dfrac{2(x+2)}{x+1},$$这样就证明了当 $x\in \left(1,\dfrac{4-{\rm e}}{{\rm e}-2}\right]$ 时的情形．
进一步，当 $x>{\rm e}$ 时，有$$\ln\dfrac{x}{\rm e}>\dfrac{2(x-{\rm e})}{x+{\rm e}},$$即$$\ln x>\dfrac{3x-{\rm e}}{x+{\rm e}},$$于是当 $x>{\rm e}$ 时，有$$\dfrac{x+2}{x-1}\cdot \ln x>\dfrac{(x+2)(3x-{\rm e})}{(x-1)(x+{\rm e})},$$用分析法可知 $RHS\geqslant {\rm e}$，即$$(3-{\rm e})x^2-({\rm e}^2-6)x-2{\rm e}+{\rm e}^2\geqslant 0,$$左边的二次函数对称轴 $x=\dfrac{{\rm e}^2-6}{6-2{\rm e}}$ 在 $x={\rm e}$ 的左侧，因此有$$\begin{split} &(3-{\rm e})x^2-({\rm e}^2-6)x-2{\rm e}+{\rm e}^2\\>&(3-{\rm e}){\rm e}^2-({\rm e}^2-6){\rm e}-2{\rm e}+{\rm e}^2\\=&2{\rm e}(2{\rm e}+2-{\rm e}^2)>0,\end{split} $$命题得证．
最后，利用当 $x<{\rm e}$ 时，有$$\ln \dfrac{x}{\rm e}>\dfrac 12\left(\dfrac{x}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x}\right),$$可以证明当 $x\in\left(\dfrac{4-{\rm e}}{{\rm e}-2},{\rm e}\right)$ 时的情形．
而当 $x={\rm e}$ 时，不等式显然成立．综上所述，原命题得证．
进一步，当 $x>{\rm e}$ 时，有$$\ln\dfrac{x}{\rm e}>\dfrac{2(x-{\rm e})}{x+{\rm e}},$$即$$\ln x>\dfrac{3x-{\rm e}}{x+{\rm e}},$$于是当 $x>{\rm e}$ 时，有$$\dfrac{x+2}{x-1}\cdot \ln x>\dfrac{(x+2)(3x-{\rm e})}{(x-1)(x+{\rm e})},$$用分析法可知 $RHS\geqslant {\rm e}$，即$$(3-{\rm e})x^2-({\rm e}^2-6)x-2{\rm e}+{\rm e}^2\geqslant 0,$$左边的二次函数对称轴 $x=\dfrac{{\rm e}^2-6}{6-2{\rm e}}$ 在 $x={\rm e}$ 的左侧，因此有$$\begin{split} &(3-{\rm e})x^2-({\rm e}^2-6)x-2{\rm e}+{\rm e}^2\\>&(3-{\rm e}){\rm e}^2-({\rm e}^2-6){\rm e}-2{\rm e}+{\rm e}^2\\=&2{\rm e}(2{\rm e}+2-{\rm e}^2)>0,\end{split} $$命题得证．
最后，利用当 $x<{\rm e}$ 时，有$$\ln \dfrac{x}{\rm e}>\dfrac 12\left(\dfrac{x}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x}\right),$$可以证明当 $x\in\left(\dfrac{4-{\rm e}}{{\rm e}-2},{\rm e}\right)$ 时的情形．
而当 $x={\rm e}$ 时，不等式显然成立．综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
