已知 $a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}$，求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{n^2}{n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $a_n=1-\dfrac{2}{3^n+2}$，而 $\dfrac{n^2}{n+1}=n-\dfrac{n}{n+1}$，因此原不等式等价于$$\dfrac{2}{3+2}+\dfrac{2}{9+2}+\dfrac{2}{27+2}+\cdots+\dfrac{2}{3^n+2}<\dfrac{n}{n+1}.$$当 $n=1,2$ 时命题显然成立，当 $n\geqslant 3$ 时，有\[\begin{split} \dfrac{2}{3+2}+\dfrac{2}{9+2}+\dfrac{2}{27+2}+\cdots+\dfrac{2}{3^n+2}&< \dfrac 25+\dfrac 2{11}+\dfrac{2}{27}+\cdots +\dfrac{2}{3^n}\\ &<\dfrac 25+\dfrac{2}{11}+\dfrac{\dfrac{2}{27}}{1-\dfrac 13}\\&<\dfrac 34\leqslant \dfrac{n}{n+1},\end{split}\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
