已知 $a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}$，求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{n^2}{n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式$$\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n}\right)\geqslant n^2,$$而$$\dfrac 1{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n}=n+2\left(\dfrac 13+\dfrac 19+\cdots +\dfrac{1}{3^n}\right)<n+1,$$因此 $a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac {n^2}{n+1}$，原命题得证．
答案
解析
备注
