函数 $f(x,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)x-\sqrt 2\right|}{\sqrt{x^2-2\sqrt 2x\cos\alpha+2}}$，其中 $x\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} f(x,\alpha)&=\sqrt{\dfrac{(1+2\sqrt 2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)x^2-2\sqrt 2(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha)x+2}{x^2-2\sqrt 2\cos\alpha\cdot x+2}}\\
&=\sqrt{1+\sin\alpha \cdot \dfrac{(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha)x^2-4\cdot x}{x^2-2\sqrt 2\cos\alpha\cdot x+2}},\end{split}\]令\[t=\dfrac{(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha)x^2-4\cdot x}{x^2-2\sqrt 2\cos\alpha\cdot x+2},\]则\[(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha-t)x^2+(2t\sqrt 2\cos\alpha-4)x-2t=0,\]视其为关于 $x$ 的二次方程，则其判别式\[\Delta=8(-t^2\sin^2\alpha+t\sin\alpha+2)\geqslant 0,\]于是\[-\dfrac{1}{\sin\alpha}\leqslant t\leqslant \dfrac{2}{\sin\alpha},\]因此可得 $f(x,\alpha)$ 的值域为 $\left[0,\sqrt 3\right]$．
&=\sqrt{1+\sin\alpha \cdot \dfrac{(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha)x^2-4\cdot x}{x^2-2\sqrt 2\cos\alpha\cdot x+2}},\end{split}\]令\[t=\dfrac{(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha)x^2-4\cdot x}{x^2-2\sqrt 2\cos\alpha\cdot x+2},\]则\[(2\sqrt 2\cos\alpha+\sin\alpha-t)x^2+(2t\sqrt 2\cos\alpha-4)x-2t=0,\]视其为关于 $x$ 的二次方程，则其判别式\[\Delta=8(-t^2\sin^2\alpha+t\sin\alpha+2)\geqslant 0,\]于是\[-\dfrac{1}{\sin\alpha}\leqslant t\leqslant \dfrac{2}{\sin\alpha},\]因此可得 $f(x,\alpha)$ 的值域为 $\left[0,\sqrt 3\right]$．
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答案
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