某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 $ A_1B_1C_1D_1-ABCD $，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 $ ABCD-A_2B_2C_2D_2 $．
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（文）
【标注】
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证明：直线 $ B_1D_1\perp 平面 ACC_2A_2 $；标注答案略解析因为四棱柱 $ ABCD-A_2B_2C_2D_2 $ 的侧面是全等的矩形，
所以 $ AA_2\perp AB$，$AA_2\perp AD $．
又因为 $ AB\cap AD=A $，所以 $ AA_2\perp 平面 ABCD $．
连接 $ BD $，因为 $ BD \subset 平面 ABCD $，所以 $ AA_2\perp BD $．
因为底面 $ ABCD $ 是正方形，所以 $ AC\perp BD $．
根据棱台的定义可知，$ BD $ 与 $ B_1D_1 $ 共面．
又已知平面 $ ABCD\parallel 平面 A_1B_1C_1D_1 $，且平面 $ BB_1D_1D\cap 平面 ABCD=BD $，
平面 $ BB_1D_1D\cap 平面 A_1B_1C_1D_1=B_1D_1 $，所以 $ B_1D_1\parallel BD $．
于是，由 $ AA_2\perp BD$，$AC\perp BD$，$B_1D_1\parallel BD $，可得 $ AA_2\perp B_1D_1$，$AC\perp B_1D_1 $．
又因为 $ AA_2\cap AC=A $，所以 $ B_1D_1\perp 平面 ACC_2A_2 $． -
现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知 $ AB=10$，$A_1B_1=20$，$AA_2=30$，$AA_1=13 $（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费用为 $ 0.20 $ 元，需加工处理费多少元？标注答案略解析因为四棱柱 $ ABCD-A_2B_2C_2D_2 $ 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以\[\begin{split} S_1& =S_{四棱柱上底面}+S_{四棱柱侧面}\\&=\left(A_2B_2\right)^2+4AB\cdot AA_2\\&=10^2+4\times 10\times 30=1 300\left({\mathrm{cm}}^2\right),\end{split} \]又因为四棱台 $ A_1B_1C_1D_1-ABCD $ 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以\[ \begin{split}S_2 &=S_{四棱台下底面}+S_{四棱台侧面}\\&=\left(A_1B_1\right)^2+4\times {\dfrac{1}{2}}\left(AB+A_1B_1\right)h_{等腰梯形的高}\\&=20^2+4\times {\dfrac{1}{2}}\left(10+20\right){\sqrt{13^2- \left[{\dfrac{1}{2}}\left(20-10\right)\right]^ 2}}=1 120\left({\mathrm{cm}}^2\right). \end{split}\]于是该实心零部件的表面积为\[ \begin{split}S&=S_1+S_2\\&=1 300+1 120=2 420\left({\mathrm{cm}}^2\right),\end{split}\]故所需加工处理费为\[0.2S=0.2\times 2 420=484\left(元\right). \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
