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函数 $f(x,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)x-\sqrt 2\right|}{\sqrt{x^2-2\sqrt 2x\cos\alpha+2}}$，其中 $x\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是 \((\qquad)\) ．
A: $\sqrt 2$
B: $\sqrt 3$
C: $2$
D: $\sqrt 5$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为距离
【答案】
B
【解析】
函数 $f(x,\alpha)$ 即\[f(x,\alpha)=\dfrac{\left|\left(x\cos\alpha-\sqrt 2\right)+\sqrt 2x\sin\alpha\right|}{\sqrt{\left(x\cos\alpha-\sqrt 2\right)^2+(x\sin\alpha)^2}},\]其几何意义为点 $A\left(1,\sqrt 2\right)$ 到关于 $(a,b)$ 的直线\[l:\left(x\cos\alpha-\sqrt 2\right)\cdot a+x\sin\alpha\cdot b=0\]的距离 $d$．注意到直线 $l$ 恒过原点，且其法向量\[\overrightarrow n=\left(x\cos\alpha-\sqrt 2,x\sin\alpha\right)\]可以取到 $\left(1,\sqrt 2\right)$ 方向．因此所求的最大值为\[OA=\sqrt 3.\]
题目 答案 解析 备注
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