略

因为 $ PA\perp $ 平面 $ ABCD $，$ BD \subset $ 平面 $ ABCD $，
所以 $ PA\perp BD $．
又 $ AC\perp BD$，$PA,AC $ 是平面 $ PAC $ 内的两条相交直线，
所以 $ BD\perp $ 平面 $ PAC $．
而 $ PC \subset $ 平面 $ PAC $，所以 $ BD\perp PC $．

略

如图： 设 $ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ O $，连接 $ PO $，
由（1）知，$ BD\perp $ 平面 $ PAC $，所以 $ \angle DPO $ 是直线 $ PD $ 和平面 $ PAC $ 所成的角．
从而 $ \angle DPO=30^\circ $．
由 $ BD\perp $ 平面 $ PAC$，$PO\subset $ 平面 $ PAC $ 知，$ BD\perp PO $．
在 $ {\mathrm{Rt}}\triangle POD $ 中，由 $ \angle DPO=30^\circ $ 得 $ PD=2OD $．
因为四边形 $ ABCD $ 为等腰梯形，$ AC\perp BD $，
所以 $ \triangle AOD$，$\triangle BOC $ 均为等腰直角三角形．从而梯形 $ ABCD $ 的高为\[ {\dfrac{1}{2}}AD+{\dfrac{1}{2}}BC={\dfrac{1}{2}}\times \left(4+2\right)=3 ,\]于是梯形 $ ABCD $ 的面积\[ S={\dfrac{1}{2}}\times \left(4+2\right)\times 3=9, \]在等腰直角三角形 $ AOD $ 中，\[ OD={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}AD=2{\sqrt{2}}, \]所以\[\begin{split} PD&=2OD=4{\sqrt{2}},\\PA&={\sqrt{PD^2-AD^2}}=4.\end{split}\]故四棱锥 $ P-ABCD $ 的体积为\[\begin{split}V&={\dfrac{1}{3}}\times S\times PA\\&={\dfrac{1}{3}}\times 9\times 4\\&=12.\end{split}\]