已知抛物线 ${C_1}:{x^2} = y$，圆 ${C_2}:{x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 1$ 的圆心为点 $M$．
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷（理）
【标注】
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求点 $M$ 到抛物线 ${C_1}$ 的准线的距离；标注答案略解析由题意可知，抛物线的准线方程为：\[y = - \dfrac{1}{4},\]所以圆心 $M\left( {0,4} \right)$ 到准线的距离是 $\dfrac{17}{4}$．
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已知点 $P$ 是抛物线 ${C_1}$ 上一点（异于原点），过点 $P$ 作圆 ${C_2}$ 的两条切线，交抛物线 ${C_1}$ 于 $A$，$B$ 两点，若过 $M$，$P$ 两点的直线 $l$ 垂直于 $AB$，求直线 $l$ 的方程．标注答案略解析设 $P(t,t^2)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $P$ 点对圆 $M$ 的双切线方程为\[C_3:\left[t^2+(t^2-4)^2-1\right]\cdot \left[x^2+(y-4)^2-1\right]-\left[xt+(y-4)(t^2-4)-1\right]^2=0,\]与抛物线方程联立，可得\[\left[t^2+(t^2-4)^2-1\right]\cdot \left[x^2+(x^2-4)^2-1\right]-\left[xt+\left(x^2-4\right)\left(t^2-4\right)-1\right]^2=0,\]由韦达定理可得\[x_1+x_2+2t=\dfrac{2t\left(t^2-4\right)}{t^2-1},\]于是\[x_1+x_2=-\dfrac{6t}{t^2-1},\]进而直线 $AB$ 的斜率\[\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=x_1+x_2=-\dfrac{6t}{t^2-1},\]由 $PM$ 与 $AB$ 垂直，可得\[\dfrac{t^2-4}{t}\cdot \left(-\dfrac{6t}{t^2-1}\right)=-1,\]解得 $t=\pm\sqrt{\dfrac{23}5}$．进而可得直线 $l$ 的方程为\[y=\pm\dfrac{3\sqrt{115}}{115}x+4.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
