题目 已知函数 $f(x)=a-\dfrac{1}{x}-\ln x$，其中 $a\in\mathbb R$． 问题1 若 $a=2$，求 $f(x)$ 在 $\left(1,{\mathrm e}^2\right)$ 上零点的个数； 答案1 $ 1 $ 解析1 记函数 $g(x)=\dfrac 1x + \ln x$，则$$g'(x)=\dfrac{x-1}{x^2},$$于是可得函数 $g(x)$ 的图象如图．<img src="/static/images/1f5f9e2f44e0d9d1541361c060ddbe8e.png" class="img-responsive" />于是当 $a=2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(1,{\mathrm e}^2\right)$ 上有一个零点； 备注1 问题2 若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值集合； 答案2 $\{1\}$ 解析2 若 $f(x)$ 恰有一个零点，$a$ 的取值集合为 $\{1\}$． 备注2 问题3 若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1 x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$2<x_1+x_2<3{\mathrm e}^{a-1}-1$． 答案3 略 解析3 <case>左边不等式</case>根据题意，有$$\dfrac{1}{x_1}+\ln x_1=a,\quad\dfrac{1}{x_2}+\ln x_2=a,$$两式相减，化简得$$x_1x_2=\dfrac{x_2-x_1}{\ln{\dfrac{x_2}{x_1}}},$$于是可得$$x_1=\dfrac{1-\dfrac{x_1}{x_2}}{\ln{\dfrac{x_2}{x_1}}},\quad x_2=\dfrac{\dfrac{x_2}{x_1}-1}{\ln\dfrac{x_2}{x_1}},$$令 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$，其中 $t>1$，则$$x_1+x_2=\dfrac{1-\dfrac 1t}{\ln t}+\dfrac{t-1}{\ln t}=\dfrac{t-\dfrac 1t}{\ln t},$$因此只需要证明$$\forall t>1,t-\dfrac 1t-2\ln t>0.$$考虑到$$\left(t-\dfrac 1t-2\ln t\right)'_t=\left(\dfrac 1t-1\right)^2>0,$$于是左边不等式得证．<br/><case>右边不等式</case>等价于$$\ln\dfrac{x_1+x_2+1}{3}+1-a<0,$$将$$x_1+x_2=\dfrac{t^2-1}{t\ln t},\quad a=\dfrac {1}{x_1}+\ln x_1=\dfrac{t\ln t}{t-1}+\ln\dfrac{t-1}{t\ln t},$$代入，该不等式左边为$$\ln\dfrac{t^2-1+t\ln t}{t-1}-\dfrac{t\ln t}{t-1}+1-\ln 3,$$其导函数为$$\dfrac{t\ln^2t-(t-1)^2}{\left(t^2-1+t\ln t\right)\left(t-1\right)^2}.$$因此只需要证明$$\forall t>1,\sqrt t\ln t-t+1<0,$$即$$\forall t>1,2\ln \sqrt t<\sqrt t-\dfrac{1}{\sqrt t},$$根据第 $(1)$ 小问，于是右边不等式得证． 备注3 每日一题[114]极值点偏移不等式的几种常见处理方法．