如图，建立平面直角坐标系 $ xOy $，$ x $ 轴在地平面上，$ y $ 轴垂直于地平面，单位长度为 $ 1 $ 千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $ y=kx-{\dfrac{1}{20}}\left(1+k^2\right)x^2 \left(k>0\right) $ 表示的曲线上，其中 $ k $ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
-
求炮的最大射程；标注答案略解析令 $ y=0 $，得\[ kx-{\dfrac{1}{20}}\left(1+k^2\right)x^2=0, \]由实际意义和题设条件知 $ x>0$，$k>0 $，故\[ x={\dfrac{20k}{1+k^2}}= \dfrac {20} { k+{\dfrac{1}{k}}} \leqslant {\dfrac{20}{2}}=10, \]当且仅当 $ k=1 $ 时取等号．
所以炮的最大射程为 $ 10 $ 千米． -
设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 $ 3.2 $ 千米，试问它的横坐标 $ a $ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．标注答案略解析炮弹可击中目标，即存在 $ k>0 $，使 $ 3.2=ka-{\dfrac{1}{20}}\left(1+k^2\right)a^2 $ 成立，
亦即关于 $ k $ 的方程 $ a^2k^2-20ak+a^2+64=0 $ 有正根，
由于 $a>0$，所以根据韦达定理知，如果方程有根则两个都是正根．所以判别式\[ \Delta =\left(-20a\right)^2-4a^2\left(a^2+64\right)\geqslant 0,\]即\[a\leqslant 6.\]所以当 $ a $ 不超过 $ 6 $ 千米时，可击中目标．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
