已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，双曲线 $H:xy=4$．
【难度】
【出处】
2017年中国科学技术大学综合评价测试数学试题（回忆版）
【标注】
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求椭圆 $E$ 上点 $\left(\dfrac{4}{\sqrt 5},\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)$ 处的切线方程；标注答案$x+y-\sqrt 5=0$解析根据圆锥曲线的切线方程，可得所求切线方程为\[\dfrac{4}{\sqrt 5}\cdot \dfrac x4+\dfrac{1}{\sqrt 5}\cdot y=1,\]即\[x+y-\sqrt 5=0.\]
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点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，点 $Q$ 在双曲线 $H$ 上，求证：$|PQ|>\dfrac 65$．标注答案略解析根据图形的对称性，只需要考虑点 $Q$ 的横坐标大于 $0$ 的情形．取双曲线 $H$ 与直线 $l:x+y-\sqrt 5=0$ 平行且相切于第一象限的切线\[l':x+y-4=0,\]记两条平行直线 $l,l'$ 之间的距离为 $d$，则\[d=\dfrac{4-\sqrt 5}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{4-\sqrt 5}{\sqrt 2}= 1.24\cdots>\dfrac 65.\]设线段 $PQ$ 分别与直线 $l$ 和 $l'$ 交于点 $P_1,Q_1$，则\[|PQ|\geqslant |P_1Q|\geqslant |P_1Q_1|\geqslant d>\dfrac 65,\]原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
