题目 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 $ 100 $ 名观众进行调查，其中女性有 $ 55 $ 名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：<br><img src="/static/images/4f33b4fae8e5d494c20c7b7be677a6ae.png" class="img-responsive" /> 将日均收看该体育节目时间不低于 $ 40 $ 分钟的观众称为"体育迷"，已知"体育迷"中有 $ 10 $ 名女性．<br/>附：\[ \chi^ 2={\dfrac{n\left(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\right)^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}}\]\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline<br/>P\left(\chi ^2\geqslant k\right)& 0.05 &0.01 \\ \hline<br/>k& 3.841& 6.635 \\ \hline\end{array}\] 问题1 根据已知条件完成下面的 $ 2\times 2 $ 列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&非体育迷 &体育迷& 合计\\ \hline<br/>男&&& \\ \hline<br/>女 &&& \\ \hline<br/>合计&&& \\ \hline \end{array} 答案1 略 解析1 由频率分布直方图可知，在抽取的 $ 100 $ 人中，"体育迷"有 $ 25 $ 人，从而完成 $ 2\times 2 $ 列联表如下：\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&非体育迷& 体育迷& 合计\\ \hline<br/>男& 30 &15& 45 \\ \hline<br/>女 &45 &10& 55\\ \hline<br/>合计 &75 &25 &100\\ \hline\end{array}将 $ 2\times 2 $ 列联表中的数据代入公式计算，得\[ \begin{split}\chi ^2 &=\dfrac{n\left(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\right)^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}\\&=\dfrac{100\times \left(30\times 10-45\times 15\right)^2}{75\times 25\times 45\times 55}\\&=\dfrac{100}{33}\approx 3.030. \end{split}\]因为 $ 3.030<3.841 $，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关． 备注1 问题2 将日均收看该体育节目不低于 $ 50 $ 分钟的观众称为"超级体育迷"，已知"超级体育迷"中有 $ 2 $ 名女性．若从"超级体育迷"中任意选取 $ 2 $ 人，求至少有1名女性观众的概率． 答案2 略 解析2 由频率分布直方图可知，"超级体育迷"为 $ 5 $ 人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为\[ \Omega =\left\{\left(a_1,a_2\right),\left(a_1,a_3\right),\left(a_2,a_3\right),\left(a_1,b_1\right),\left(a_1,b_2\right),\\ \left(a_2,b_1\right),\left(a_2,b_2\right),\left(a_3,b_1\right),\left(a_3,b_2\right),\left(b_1,b_2\right)\right\}, \]其中 $ a_i $ 表示男性，$ i=1,2,3 $；$ b_j $ 表示女性，$ j=1,2 $．<br/>$ \Omega $ 由 $ 10 $ 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．<br/>用 $ A $ 表示"任选 $ 2 $ 人中，至少有 $ 1 $ 人是女性"这一事件，则\[ A=\left\{\left(a_1,b_1\right),\left(a_1,b_2\right),\left(a_2,b_1\right),\left(a_2,b_2\right),\left(a_3,b_1\right),\left(a_3,b_2\right),\left(b_1,b_2\right)\right\}, \]事件 $ A $ 由 $ 7 $ 个基本事件组成，因而\[ P\left(A\right)={\dfrac{7}{10}} .\] 备注2