设 $f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+cx+d$，如果方程 $f(g(x))=0$ 和 $g(f(x))=0$ 都没有实数根，求证：方程 $f(f(x))=0$ 和 $g(g(x))=0$ 中至少有一个没有实数根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设方程 $f(x)=0$ 的实根为 $x_1,x_2 \left(x_1\leqslant x_2\right)$，函数 $f(x)$ 的值域为 $[a,+\infty)$，
方程 $g(x)=0$ 的实根为 $x_3,x_4 \left(x_3\leqslant x_4\right)$，函数 $g(x)$ 的值域为 $[b,+\infty)$，那么根据题意，有\begin{align*}
x_2&<b,\\
x_4&<a,
\end{align*}故\begin{equation}\label{至少有一个无实根1}
x_2+x_4<a+b.
\end{equation}若方程 $f(f(x))=0$ 和 $g(g(x))=0$ 均有实根，则\begin{align*}
x_2&\geqslant a,\\
x_4&\geqslant b,
\end{align*}故\begin{equation}\label{至少有一个无实根2}
x_2+x_4\geqslant a+b.
\end{equation}由于 \eqref{至少有一个无实根1} 式与 \eqref{至少有一个无实根2} 式矛盾，故原命题得证．
答案
解析
备注
