求函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,2\right]$
【解析】
根据题意，有 $\sin x,\cos x\geqslant 0$．
由于$$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\leqslant \dfrac{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}=2,$$等号当 $\sin x=1$，$\cos x=0$ 时取得，因此所求函数的最大值为 $2$．
类似的，有$$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\geqslant \dfrac{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}=\dfrac 12,$$等号当 $\sin x=0$，$\cos x=1$ 时取得，因此所求函数的最小值为 $\dfrac 12$．
结合函数 $f(x)$ 在一个周期（如 $\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 12,2\right]$．
由于$$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\leqslant \dfrac{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}=2,$$等号当 $\sin x=1$，$\cos x=0$ 时取得，因此所求函数的最大值为 $2$．
类似的，有$$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\geqslant \dfrac{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}=\dfrac 12,$$等号当 $\sin x=0$，$\cos x=1$ 时取得，因此所求函数的最小值为 $\dfrac 12$．
结合函数 $f(x)$ 在一个周期（如 $\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 12,2\right]$．
答案
解析
备注
