设锐角 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，且 $c=1$，$A=2C$，则 $\triangle ABC$ 的周长的取值可能是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，三角形的三个内角分别为 $2C,\pi-3C,C$，而该三角形为锐角三角形，因此 $C$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}4\right)$．因此 $\triangle ABC$ 的周长为\[\begin{split}\dfrac{c}{\sin C}\cdot (\sin A+\sin B+\sin C)&=\dfrac{\sin 2C+\sin 3C+\sin C}{\sin C}\\
&=2\cos C+3-4\sin^2C+1\\
&=4\cos^2C+2\cos C,\end{split}\]考虑到 $\cos C$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，于是所求周长的取值范围是 $\left(2+\sqrt 2,3+\sqrt 3\right)$．
&=2\cos C+3-4\sin^2C+1\\
&=4\cos^2C+2\cos C,\end{split}\]考虑到 $\cos C$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，于是所求周长的取值范围是 $\left(2+\sqrt 2,3+\sqrt 3\right)$．
题目
答案
解析
备注
