求函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,2\right]$
【解析】
当 $\cos x=0$ 时，$\sin x=1$，此时函数值为 $2$．
当 $\cos x>0$ 时，有\[\begin{split} \dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}&=\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\\ &=1+\dfrac{\sqrt{\tan x}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<1+\dfrac{\sqrt{\tan x+1}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<2,\end{split}\]因此所求函数的最大值为 $2$．
因为 $\cos x>0$ 时，$\tan x\geqslant 0$，所以\[\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\geqslant \dfrac{\sqrt{\tan x+1}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\tan x}}=\dfrac 12,\]当 $\tan x=0$ 时取到等号，因此所求函数的最小值为 $\dfrac 12$．
结合函数 $f(x)$ 在一个周期（如 $\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 12,2\right]$．
当 $\cos x>0$ 时，有\[\begin{split} \dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}&=\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\\ &=1+\dfrac{\sqrt{\tan x}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<1+\dfrac{\sqrt{\tan x+1}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<2,\end{split}\]因此所求函数的最大值为 $2$．
因为 $\cos x>0$ 时，$\tan x\geqslant 0$，所以\[\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\geqslant \dfrac{\sqrt{\tan x+1}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\tan x}}=\dfrac 12,\]当 $\tan x=0$ 时取到等号，因此所求函数的最小值为 $\dfrac 12$．
结合函数 $f(x)$ 在一个周期（如 $\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 12,2\right]$．
答案
解析
备注
