设 $a,b$ 为实数，且 $|a|+|b|<1$，方程 $x^2+ax+b=0$ 存在两个实根 $\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$ 且 $|\beta|<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有 $|\alpha+\beta|+|\alpha\cdot\beta|<1$．
情形一 $\alpha\cdot \beta\geqslant 0$．此时 $|\alpha|+|\beta|=|\alpha+\beta|<1$，因此原命题得证．
情形二 $\alpha\cdot \beta< 0$．不妨设 $|\alpha|\geqslant |\beta|$，则$$|\alpha|-|\beta|+|\alpha|\cdot |\beta|<1,$$即$$(|\alpha|-1)(|\beta|+1)<0,$$从而 $|\alpha|<1$，原命题得证．
综上所述，原命题成立．
综上所述，原命题成立．
答案
解析
备注
