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求证：$(x-1){\rm e}^x-\ln x> -\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    微积分初步
    >
    函数不等式的证明
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    放缩
    >
    切割线放缩法
【答案】
略
【解析】
情形一 $x\geqslant 1$．
此时利用切线放缩，有\[{\rm e}^x\geqslant x+1,\]于是\[\begin{split}LHS&\geqslant (x-1)(x+1)-\ln x\\ &>(x-1)(x+1)-(x-1)\\ &=x(x-1)>-\dfrac 12.\end{split}\]情形二  $0<x<1$．
此时利用割线放缩，有\[{\rm e}^x<({\rm e}-1)x+1,\]于是\[\begin{split}LHS&\geqslant (x-1)\left[({\rm e}-1)x+1\right]-\ln x\\ &>(x-1)\left[({\rm e}-1)x+1\right]-(x-1)\\ &=({\rm e}-1)x(x-1)\\ &\geqslant -\dfrac{{\rm e}-1}4>-\dfrac 12.\end{split}\]综上所述，原不等式得证．
答案 解析 备注
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