已知函数 $f(x)=x^2-2ax+4(a-1)\ln (x+1)$，其中实数 $a<3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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判断 $x=1$ 是否为函数 $f(x)$ 的极值点，并说明理由；标注答案是解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac 2{x+1}(x-1)(x+2-a),\]由于$$a-2<1,$$因此 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点．
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若 $f(x)\leqslant 0$ 在区间 $[0,1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．标注答案$(-\infty ,2]$解析由于 $f(0)=0$，而$$f'(0)=2(a-2),$$因此 $a=2$ 是讨论的分界点．
情形一 $2<a<3$．
此时在区间 $(0,a-2)$ 上，$f'(x)> 0$，从而 $f(x)$ 单调递增．
又因为 $f(0)=0$，所以有 $f(x)>0$，不符合题意．情形二 $a\leqslant 2$．
此时在区间 $[0,1]$ 上，$f'(x)\leqslant 0$，从而 $f(x)$ 单调递减．
又因为 $f(0)=0$，所以有 $f(x)\leqslant 0$，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty ,2]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
