已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 经过左焦点 $F$，且与椭圆 $G$ 相交于 $A,B$ 两点，弦 $AB$ 的中点为 $M$，直线 $OM$ 与椭圆 $G$ 相交于 $C,D$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若直线 $l$ 的斜率为 $1$，求直线 $OM$ 的斜率；标注答案$-\dfrac 12$解析根据椭圆的垂径定理，可得\[k_{OM}\cdot k_{AB}=-\dfrac 12,\]于是直线 $OM$ 的斜率为 $-\dfrac 12$．
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是否存在直线 $l$，使得 $|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．标注答案存在，$y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}(x-1)$解析若$$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|,$$则 $A,B,C,D$ 四点共圆，因此$$k_{AB}+k_{CD}=0,$$从而直线 $l$ 的斜率为 $\pm \dfrac{\sqrt 2}2$，进而其方程为\[y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}(x-1).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
