已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$，向量 $\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{2\pi}3$，$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$，求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$24$
【解析】
如图，圆 $P$ 的弦 $AB$ 对应的劣弧的圆周角为 $\dfrac{\pi}3$，弦 $AB$ 的长度为 $5$，$O$ 是优弧 $AB$ 上一点，$C$ 是劣弧 $AB$ 上一点，且 $AC=2\sqrt 3$．
根据题意，有$$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA},\overrightarrow b=\overrightarrow {OB},\overrightarrow c=\overrightarrow{OC}.$$事实上，$C$ 点还可能为图中 $C$ 点位置关于 $AB$ 对称的位置，但考虑到求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值，可以略去该位置．
注意到弦 $AC$ 为定值，其所对的角 $\angle AOC$ 为定角，考虑到\[\begin{split}\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|^2&=\overrightarrow a^2+\overrightarrow c^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\\ &=\left(\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow c\right|\right)^2+\left(\dfrac{2}{\cos\angle AOC}-2\right)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\\ &=12\end{split}\]为定值，因此当 $OA=OC$ 时，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 最大．在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，可得\[\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC},\]于是$$\sin\angle ABC=\dfrac 35,\cos\angle ABC=\dfrac 45,$$因此所求最大值为\[\dfrac{12}{2\cdot \dfrac 54-2}=24.\]
根据题意，有$$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA},\overrightarrow b=\overrightarrow {OB},\overrightarrow c=\overrightarrow{OC}.$$事实上，$C$ 点还可能为图中 $C$ 点位置关于 $AB$ 对称的位置，但考虑到求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值，可以略去该位置．注意到弦 $AC$ 为定值，其所对的角 $\angle AOC$ 为定角，考虑到\[\begin{split}\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|^2&=\overrightarrow a^2+\overrightarrow c^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\\ &=\left(\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow c\right|\right)^2+\left(\dfrac{2}{\cos\angle AOC}-2\right)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\\ &=12\end{split}\]为定值，因此当 $OA=OC$ 时，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 最大．在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，可得\[\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC},\]于是$$\sin\angle ABC=\dfrac 35,\cos\angle ABC=\dfrac 45,$$因此所求最大值为\[\dfrac{12}{2\cdot \dfrac 54-2}=24.\]
答案
解析
备注
