已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$，向量 $\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{2\pi}3$，$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$，求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$24$
【解析】
如图，圆 $P$ 的弦 $AB$ 对应的劣弧的圆周角为 $\dfrac{\pi}3$，弦 $AB$ 的长度为 $5$，$O$ 是优弧 $AB$ 上一点，$C$ 是劣弧 $AB$ 上一点，且 $AC=2\sqrt 3$，则$$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA},\overrightarrow b=\overrightarrow {OB},\overrightarrow c=\overrightarrow{OC}.$$
事实上，$C$ 点还可能为图中 $C$ 点位置关于 $AB$ 对称的位置，但考虑到求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值，可以略去该位置．
根据极化恒等式，有\[\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OC}=OM^2-\dfrac 14AC^2,\]其中 $M$ 为线段 $AC$ 的中点．
由于\[OM\leqslant OP+PM=\dfrac{5}{\sqrt 3}+PM,\]当 $O,P,M$ 三点共线时取等号．
在 $\triangle APM$ 中有\[PM=\sqrt{PA^2-AM^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3}.\]所以所求的最大值为\[\left(\dfrac{5}{\sqrt 3}+\dfrac{4}{\sqrt 3}\right)^2-3=24.\]
事实上，$C$ 点还可能为图中 $C$ 点位置关于 $AB$ 对称的位置，但考虑到求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$ 的最大值，可以略去该位置．根据极化恒等式，有\[\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OC}=OM^2-\dfrac 14AC^2,\]其中 $M$ 为线段 $AC$ 的中点．
由于\[OM\leqslant OP+PM=\dfrac{5}{\sqrt 3}+PM,\]当 $O,P,M$ 三点共线时取等号．
在 $\triangle APM$ 中有\[PM=\sqrt{PA^2-AM^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3}.\]所以所求的最大值为\[\left(\dfrac{5}{\sqrt 3}+\dfrac{4}{\sqrt 3}\right)^2-3=24.\]
答案
解析
备注
