已知 $f(x)=\ln x-x^3+2{\rm e}x^2-ax$ 有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$
【解析】
问题可以转化为函数\[g(x)=\dfrac{\ln x}x-x^2+2{\rm e}x\]的图象与直线 $y=a$ 有两个公共点．而 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=2\left({\rm e}-x\right)+\dfrac{1-\ln x}x,\]于是函数 $g(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上单调递减，在 $x={\rm e}$ 处取得极大值，亦为最大值\[g({\rm e})={\rm e}^2+{\rm e}^{-1},\]考虑到当 $0<x<1$ 时，有\[f(x)<\ln x+2{\rm e}+|a|,\]于是取 $x_1=\min\left\{{\rm e}^{-2{\rm e}-|a|},1\right\}$，则 $f(x_1)<0$；而\[f(x)<x-x^3+2{\rm e}x^2+|a|x,\]取 $x_2=\max\left\{2{\rm e},\sqrt{3|a|}\right\}$，则有 $f(x_2)<0$，于是 $ a $ 的取值范围是 $ \left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$．
答案
解析
备注
