已知 $f(x)=\ln x-x^3+2{\rm e}x^2-ax$ 有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac {-3x^3+4{\rm e}x^2+1}x-a,\]其极值点 $x=x_0$ 满足\[-3x_0^3+4{\rm e}x_0^2+1-ax_0=0,\]因此对应的极值为\[\begin{split}f(x_0)&=\ln x_0-x_0^3+2{\rm e}x_0^2-ax_0\\ &=\ln x_0+2x_0^3-2{\rm e}x_0^2-1.\end{split}\]记\[\varphi(x)=\ln x+2x^3-2{\rm e}x^2-1,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{6x^3-4{\rm e}x^2+1}x,x>0\]于是函数 $\varphi(x)$ 先单调递增，再单调递减，然后单调递增．不难证明它的极值小于 $0$，因此有唯一零点 $x={\rm e}$．
函数 $\varphi(x)$ 的图象如图．
考虑函数\[a(x)=\dfrac {-3x^3+4{\rm e}x^2+1}x,\]函数 $a(x)$ 的导函数\[a'(x)=\dfrac{-6x^3+4{\rm e}x^2-1}{x^2},\]因此其图象如图．
这样我们就得到了讨论的分界点 $a({\rm e})={\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$，分类讨论如下．
情形一 $a>{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$．
此时对应的极值点（即 $a=a(x)$ 的解 $x_i$）都小于 ${\rm e}$，因此极值（$\varphi(x_i)$）均小于 $0$，不符合题意；
情形二 $a={\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$．
此时对应两个极值点小于 ${\rm e}$，最大的极值点为 ${\rm e}$，因此有两个极值小于 $0$，极大值亦为最大值为 $0$，不符合题意；
情形三 $a<{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$．
此时最大的极值点大于 ${\rm e}$，对应的极大值亦为最大值大于 $0$，且其他极值（如果存在的话）均小于 $0$，再结合函数的单调性和极限（根据 $a$ 与 $a(x)$ 的大小关系），可知函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$，符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$．
函数 $\varphi(x)$ 的图象如图．
考虑函数\[a(x)=\dfrac {-3x^3+4{\rm e}x^2+1}x,\]函数 $a(x)$ 的导函数\[a'(x)=\dfrac{-6x^3+4{\rm e}x^2-1}{x^2},\]因此其图象如图．这样我们就得到了讨论的分界点 $a({\rm e})={\rm e}^2+{\rm e}^{-1}$，分类讨论如下．此时对应的极值点（即 $a=a(x)$ 的解 $x_i$）都小于 ${\rm e}$，因此极值（$\varphi(x_i)$）均小于 $0$，不符合题意；
此时对应两个极值点小于 ${\rm e}$，最大的极值点为 ${\rm e}$，因此有两个极值小于 $0$，极大值亦为最大值为 $0$，不符合题意；
此时最大的极值点大于 ${\rm e}$，对应的极大值亦为最大值大于 $0$，且其他极值（如果存在的话）均小于 $0$，再结合函数的单调性和极限（根据 $a$ 与 $a(x)$ 的大小关系），可知函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$，符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,{\rm e}^2+{\rm e}^{-1}\right)$．
答案
解析
备注
