已知 $\triangle ABC$ 中，$3\sin^2B+7\sin^2C=2\sin A\sin B\sin C+2\sin^2A$，求 $\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【解析】
由正弦定理，可得\[3b^2+7c^2=2bc\sin A+2a^2,\]又根据余弦定理，可得\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\]于是有\[b^2+5c^2=2bc(\sin A-2\cos A).\]而\[b^2+5c^2\geqslant 2\sqrt 5bc\geqslant 2bc(\sin A-2\cos A),\]因此有\[\sin A-2\cos A=\sqrt 5,\]于是\[\sin^2A=\left(2\cos A+\sqrt 5\right)^2=1-\cos^2A,\]即\[5\cos^2A+4\sqrt 5\cos A+4=0,\]解得 $\cos A=-\dfrac{2}{\sqrt 5}$．
因此\[\begin{split}\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)&=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sin A+\cos A\right)\\ &=\dfrac{\sqrt 2}2\left[(\sin A-2\cos A)+3\cos A\right]\\ &=-\dfrac{\sqrt {10}}{10}.\end{split}\]
因此\[\begin{split}\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)&=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sin A+\cos A\right)\\ &=\dfrac{\sqrt 2}2\left[(\sin A-2\cos A)+3\cos A\right]\\ &=-\dfrac{\sqrt {10}}{10}.\end{split}\]
答案
解析
备注
