已知 $A,B,C$ 是半径为 $1$ 的圆 $O$ 上的三点，$AB$ 为圆 $O$ 的直径，$P$ 为圆 $O$ 内（含圆周）一点，求 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 43,4\right]$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}&=\sum_{cyc}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\\
&=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\\
&=-1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2
\end{split}\]先固定 $P$ 点位置，则有\[-1-2OP+3OP^2\leqslant -1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\leqslant -1+2OP+3OP^2,\]考虑到 $OP$ 的取值范围是 $[0,1]$，于是原式的取值范围是 $\left[-\dfrac 43,4\right]$．
\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}&=\sum_{cyc}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\\
&=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\\
&=-1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2
\end{split}\]先固定 $P$ 点位置，则有\[-1-2OP+3OP^2\leqslant -1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\leqslant -1+2OP+3OP^2,\]考虑到 $OP$ 的取值范围是 $[0,1]$，于是原式的取值范围是 $\left[-\dfrac 43,4\right]$．
答案
解析
备注
