已知数列 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\dfrac{na_n+a_n^2}{n+1}$，$b_n=na_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\{a_n\}$ 是递减数列；标注答案略解析利用数学归纳法易证 $\forall n\in\mathbb N^*,a_n<1$，于是\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+a_n}{n+1}<1,\]命题得证．
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对任意的 $n\in\mathbb N^*$，都有 $b_n\leqslant \dfrac 32$．标注答案略解析根据题意，有\[b_{n+1}=b_n+\dfrac{b_n^2}{n^2},\]于是\[\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{b_n+n^2}.\]当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split}
\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{b_n}&=\dfrac{1}{b_1+1^2}+\dfrac{1}{b_2+2^2}+\cdots+\dfrac{1}{b_{n-1}+(n-1)^2}\\
&\leqslant \dfrac 23+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{-\dfrac 14+k^2}\\
&< \dfrac 43,
\end{split}\]因此有\[\dfrac{1}{b_n}\geqslant \dfrac{1}{b_1}-\dfrac 43=\dfrac 23,\]即 $b_n\leqslant \dfrac 32$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
