已知 $(x-a)^2\cdot \ln x\leqslant 4{\rm e}^2$ 对任意 $x\in (0,3{\rm e}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}},3{\rm e}\right]$
【解析】
题意即\[\forall x\in (1,3{\rm e}],|x-a|\leqslant \dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}},\]也即\[\forall x\in (1,3{\rm e}],-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}}+x\leqslant a\leqslant \dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}}+x.\]设左侧函数为 $f(x)$，右侧函数为 $g(x)$．
一方面，$f(x)$ 单调递增，在 $(1,3{\rm e}]$ 上的最大值为\[f(3{\rm e})=3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}}.\]另一方面，$g(x)$ 的导函数\[g'(x)=1-\dfrac{2{\rm e}}{2x\ln x\cdot \sqrt{\ln x}},\]于是 $g(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取得最小值$$g({\rm e})=3{\rm e}.$$因此 $a$ 的取值范围是 $\left[3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}},3{\rm e}\right]$．
一方面，$f(x)$ 单调递增，在 $(1,3{\rm e}]$ 上的最大值为\[f(3{\rm e})=3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}}.\]另一方面，$g(x)$ 的导函数\[g'(x)=1-\dfrac{2{\rm e}}{2x\ln x\cdot \sqrt{\ln x}},\]于是 $g(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取得最小值$$g({\rm e})=3{\rm e}.$$因此 $a$ 的取值范围是 $\left[3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}},3{\rm e}\right]$．
答案
解析
备注
