已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过点 $P(2,1)$ 作直线与椭圆相交于 $M,N$，过点 $N$ 作斜率为 $-\dfrac 32$ 的直线与椭圆交于另一点 $Q$，求证：直线 $MQ$ 过定点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将椭圆 $E$ 通过仿射变换 $x'=x$，$y'=\dfrac{2}{\sqrt 3}y$ 变成圆$$E':x'^2+y'^2=4,$$则 $P'\left(2,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)$，此时 $ N'Q' $ 的斜率为$$-\dfrac 32\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=-\sqrt 3,$$因此 $ Q' $ 是 $ N' $ 关于直线 $ OP' $ 的对称点．
设直线 $ OP' $ 与圆 $ E' $ 交于 $ A',B' $，则直线 $ M'Q' $ 与直线 $ OP' $ 的交点 $ R' $ 满足 $ R',P' $ 调和分割 $ A',B' $．
由于\[|OP'|=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3},\]于是 $ |OR'|=\sqrt 3 $，结合直线 $ OP' $ 的倾斜角为 $ 30^\circ $，可得 $ R'\left(\dfrac 32,\dfrac {\sqrt 3}2\right)$，因此直线 $ MQ $ 所过的定点坐标为 $ \left(\dfrac 32,1\right)$．
设直线 $ OP' $ 与圆 $ E' $ 交于 $ A',B' $，则直线 $ M'Q' $ 与直线 $ OP' $ 的交点 $ R' $ 满足 $ R',P' $ 调和分割 $ A',B' $．
由于\[|OP'|=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3},\]于是 $ |OR'|=\sqrt 3 $，结合直线 $ OP' $ 的倾斜角为 $ 30^\circ $，可得 $ R'\left(\dfrac 32,\dfrac {\sqrt 3}2\right)$，因此直线 $ MQ $ 所过的定点坐标为 $ \left(\dfrac 32,1\right)$．
答案
解析
备注
