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已知正 $\triangle ABC$ 的顶点 $A,B$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上，另一个顶点 $C(4,0)$，求符合题意的正三角形 $\triangle ABC$ 的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的方程
    >
    抛物线的参数方程
【答案】
$4$
【解析】
情形一当 $AB$ 与 $x$ 轴垂直时，显然有 $2$ 个符合题意的正三角形．
情形二 当 $AB$ 与 $x$ 轴不垂直时，设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，且 $a<b$，则直线 $AB$ 的方程为\[x-(a+b)y+4ab=0,\]线段 $AB$ 的垂直平分线为\[(a+b)x+y-2(a+b)(a^2+b^2+1)=0,\]考虑到 $C(4,0)$，因此$$a^2+b^2=1.$$此时有\[|AB|=4|a-b|\cdot \sqrt{(a+b)^2+1}=4\sqrt 2\cdot |a-b|\cdot\sqrt{ab+1},\]而 $C$ 到直线 $AB$ 的距离\[d=\dfrac{4|ab+1|}{\sqrt{(a+b)^2+1}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{ab+1}.\]根据题意，有 $d=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，于是\[1=\sqrt 3 \cdot |a-b|,\]两边平方，将 $a^2+b^2=1$ 代入，有 $ab=\dfrac 13$．
考虑到\[\begin{cases}a^2+b^2=1,\\ ab=\dfrac 13,\end{cases}\]有 $2$ 组不同的解，对应 $2$ 个符合题意的正三角形．
综上，共有 $4$ 个不同的正三角形．
答案 解析 备注
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