已知 $a\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}>0$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$
【解析】
设不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=2ax+\dfrac 1{x^2}-\dfrac 1x-{\rm e}^{1-x},\]考虑到当 $x\to+\infty$ 时 $\varphi(x)$ 的变化，以及 $\varphi'(1)=2a-1$，讨论的分界点为 $0$ 和 $\dfrac 12$．
情形一 $a\leqslant 0$．
当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)\leqslant -\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}<-\ln x+1,\]取 $x={\rm e}$ 即得 $\varphi(x)<0$，不符合题意．
情形二 $0<a<\dfrac 12$．
我们熟知$$\forall x>1,\ln x<x-1,$$于是$$\forall x>1,{\rm e}^{1-x}<\dfrac 1x.$$设函数\[\mu (x)=a\left(x^2-1\right)-\ln x,\]则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{2ax^2-1}x,\]于是在 $x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上，$\mu(x)$ 单调递减，结合 $\mu(1)=0$，可得在 $x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上，有 $\mu(x)<0$，进而有\[\varphi(x)<\mu(x)<0,\]不符合题意．
情形三 $a\geqslant \dfrac 12$．
取 $y={\rm e}^{1-x}$ 在 $x=1$ 处的切线 $y=2-x$，易证\[\forall x>1,{\rm e}^{1-x}>2-x,\]于是此时\[\varphi(x)\geqslant \dfrac 12\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+2-x,\]记右侧函数为 $\nu (x)$，则其导函数\[\nu'(x)=\dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x^2}>0,\]于是 $\nu(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\nu(1)=0$ 可得当 $x>1$ 时，$\nu(x)>0$，进而当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)\geqslant \nu(x)>0,\]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)\leqslant -\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}<-\ln x+1,\]取 $x={\rm e}$ 即得 $\varphi(x)<0$，不符合题意．
我们熟知$$\forall x>1,\ln x<x-1,$$于是$$\forall x>1,{\rm e}^{1-x}<\dfrac 1x.$$设函数\[\mu (x)=a\left(x^2-1\right)-\ln x,\]则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{2ax^2-1}x,\]于是在 $x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上，$\mu(x)$ 单调递减，结合 $\mu(1)=0$，可得在 $x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$ 上，有 $\mu(x)<0$，进而有\[\varphi(x)<\mu(x)<0,\]不符合题意．
取 $y={\rm e}^{1-x}$ 在 $x=1$ 处的切线 $y=2-x$，易证\[\forall x>1,{\rm e}^{1-x}>2-x,\]于是此时\[\varphi(x)\geqslant \dfrac 12\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+2-x,\]记右侧函数为 $\nu (x)$，则其导函数\[\nu'(x)=\dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x^2}>0,\]于是 $\nu(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\nu(1)=0$ 可得当 $x>1$ 时，$\nu(x)>0$，进而当 $x>1$ 时，有\[\varphi(x)\geqslant \nu(x)>0,\]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
