已知函数 $f(x)=-\dfrac 13x^3+x^2-ax$ 有三个零点 $0,x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$．若对任意的 $x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$
【解析】
根据题意，有\[f(x)=-\dfrac 13x\left(x^2-3x+3a\right).\]设 $g(x)=x^2-3x+3a$，则当其判别式\[\Delta=9-12a>0\]时，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，解得 $a<\dfrac 34$．
考虑到函数 $f(x)$ 关于 $(1,f(1))$ 对称，于是不等式 $f(x)>f(1)$ 的解集为\[(-\infty,2-m)\cup (1,m),\]其中$$m>1 , f(m)=f(1).$$根据题意，区间 $[x_1,x_2]$ 是其子集，因此$$1<x_1<x_2,$$继而 $f(1)<0$ 即可，也即 $g(1)>0$，得到$$3a-2>0,$$解得 $a>\dfrac 23$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$．
考虑到函数 $f(x)$ 关于 $(1,f(1))$ 对称，于是不等式 $f(x)>f(1)$ 的解集为\[(-\infty,2-m)\cup (1,m),\]其中$$m>1 , f(m)=f(1).$$根据题意，区间 $[x_1,x_2]$ 是其子集，因此$$1<x_1<x_2,$$继而 $f(1)<0$ 即可，也即 $g(1)>0$，得到$$3a-2>0,$$解得 $a>\dfrac 23$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$．
答案
解析
备注
