已知函数 $f(x)=-\dfrac 13x^3+x^2-ax$ 有三个零点 $0,x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$．若对任意的 $x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right)$
【解析】
考虑$$f(x)-f(1)=\dfrac 13(x-1)[x^2-2x+(3a-2)]<0,$$对 $x\in[x_1,x_2]$ 恒成立，从而有 $1\notin [x_1,x_2]$，又因为 $x_1+x_2=3$，所以有$$1<x_1<x_2.$$记 $h(x)=x^2-2x+(3a-2)$，则 $h(x)<0$ 对 $x\in[x_1,x_2]$ 成立，其中 $x_1,x_2$ 是 $x^2-3x+3a=0$ 的两根，由 $1<x_1<x_2$ 知，这只需要$$h(x_2)=x_2^2-2x_2+(3a-2)<0$$即可．
又因为$$3a=x_1\cdot x_2=x_2(3-x_2),$$所以有$$x_2^2-2x_2+x_2(3-x_2)<0,$$解得 $x_2<2$，又因为 $x_2>\dfrac 32$，所以 $x_2\in\left(\dfrac 23,2\right)$，从而$$a=\dfrac 13x_2(3-x_2)\in\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right).$$
又因为$$3a=x_1\cdot x_2=x_2(3-x_2),$$所以有$$x_2^2-2x_2+x_2(3-x_2)<0,$$解得 $x_2<2$，又因为 $x_2>\dfrac 32$，所以 $x_2\in\left(\dfrac 23,2\right)$，从而$$a=\dfrac 13x_2(3-x_2)\in\left(\dfrac 23,\dfrac 34\right).$$
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