已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，直线 $MN$ 过焦点 $F$ 且与抛物线 $C$ 交于 $M,N$ 两点，$P$ 为抛物线 $C$ 准线 $l$ 上一点，且 $PF\perp MN$．连结 $PM$ 交 $y$ 轴于 $Q$ 点，过 $Q$ 作 $QD\perp MF$ 于点 $D$，若 $|MD|=2|FN|$，求 $|MF|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2+\sqrt 3$
【解析】
如图．
设 $M(4m^2,4m)$，$N(4n^2,4n)$，则根据抛物线的平均性质，有\[4m^2\cdot 4n^2=1.\]根据题意，有\[\begin{split}\dfrac{|MD|}{|FN|}&=\dfrac{|MQ|}{|MP|}\cdot \dfrac{|MF|}{|FN|}\\ &=\dfrac{4m^2}{4m^2+1}\cdot \dfrac{4m^2+1}{4n^2+1}\\ &=\dfrac{4m^2}{4n^2+1}=2,\end{split}\]于是可得\[2m^2=4n^2+1,\]将 $4n^2=\dfrac{1}{4m^2}$ 代入，可得\[2m^2=\dfrac{1}{4m^2}+1,\]即\[8m^4-4m^2-1=0,\]解得 $m^2=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}$，因此\[|MF|=4m^2+1=2+\sqrt 3.\]
设 $M(4m^2,4m)$，$N(4n^2,4n)$，则根据抛物线的平均性质，有\[4m^2\cdot 4n^2=1.\]根据题意，有\[\begin{split}\dfrac{|MD|}{|FN|}&=\dfrac{|MQ|}{|MP|}\cdot \dfrac{|MF|}{|FN|}\\ &=\dfrac{4m^2}{4m^2+1}\cdot \dfrac{4m^2+1}{4n^2+1}\\ &=\dfrac{4m^2}{4n^2+1}=2,\end{split}\]于是可得\[2m^2=4n^2+1,\]将 $4n^2=\dfrac{1}{4m^2}$ 代入，可得\[2m^2=\dfrac{1}{4m^2}+1,\]即\[8m^4-4m^2-1=0,\]解得 $m^2=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}$，因此\[|MF|=4m^2+1=2+\sqrt 3.\]
答案
解析
备注
