已知函数 $f(x)=|ax^2+bx+c|$ 满足 $f(2),f(0),f(-2)\leqslant 2$，求 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 52$
【解析】
记 $g(x)=ax^2+bx+c$，则 $f(x)=|g(x)|$．
根据题意，有\[\begin{cases}g(2)=4a+2b+c,\\ g(0)=c,\\ g(-2)=4a-2b+c,\end{cases}\]于是解得\[\begin{cases}a=\dfrac 18g(2)+\dfrac 18g(-2)-\dfrac 14g(0),\\ b=\dfrac 14g(2)-\dfrac 14g(-2),\\ c=g(0),\end{cases}\]从而\[f(x)=\left|g(2)\cdot \left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)+g(-2)\cdot\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+g(0)\cdot \left(-\dfrac 14x^2+1\right)\right|,\]考虑到对称性，不妨设 $x\in [0,2]$，于是\[\begin{aligned} \dfrac 18x^2+\dfrac 14x\geqslant 0,\\ \dfrac 18x^2-\dfrac 14x\leqslant 0,\\ -\dfrac 14x^2+1\geqslant 0,\end{aligned}\]这样就有\[\begin{split}f(x)&\leqslant 2\left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)-2\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+2\left(-\dfrac 14x^2+1\right)\\ &=-\dfrac 12x^2+x+2\leqslant \dfrac 52,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=\left(-\dfrac 12,1,2\right)$ 且 $x=1$ 时取得．
因此所求的最大值为 $\dfrac 52$．
根据题意，有\[\begin{cases}g(2)=4a+2b+c,\\ g(0)=c,\\ g(-2)=4a-2b+c,\end{cases}\]于是解得\[\begin{cases}a=\dfrac 18g(2)+\dfrac 18g(-2)-\dfrac 14g(0),\\ b=\dfrac 14g(2)-\dfrac 14g(-2),\\ c=g(0),\end{cases}\]从而\[f(x)=\left|g(2)\cdot \left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)+g(-2)\cdot\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+g(0)\cdot \left(-\dfrac 14x^2+1\right)\right|,\]考虑到对称性，不妨设 $x\in [0,2]$，于是\[\begin{aligned} \dfrac 18x^2+\dfrac 14x\geqslant 0,\\ \dfrac 18x^2-\dfrac 14x\leqslant 0,\\ -\dfrac 14x^2+1\geqslant 0,\end{aligned}\]这样就有\[\begin{split}f(x)&\leqslant 2\left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)-2\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+2\left(-\dfrac 14x^2+1\right)\\ &=-\dfrac 12x^2+x+2\leqslant \dfrac 52,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=\left(-\dfrac 12,1,2\right)$ 且 $x=1$ 时取得．
因此所求的最大值为 $\dfrac 52$．
答案
解析
备注
