若实数 $a,b,c$ 成等差数列，点 $P(-1,0)$ 在动直线 $ax+by+c=0$ 上的投影为 $M$，点 $N(3,3)$，求线段 $MN$ 长度的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$
【解析】
由于实数 $a,b,c$ 成等差数列，因此动直线 $l:ax+by+c=0$ 恒过点 $A(1,-2)$．如图．
根据题意，$\angle PMA$ 恒为直角，因此点 $M$ 的轨迹是以 $PA$ 为直径的圆\[(x+1)(x-1)+(y-0)(y+2)=0,\]即\[x^2+(y+1)^2=2,\]因此线段 $MN$ 长度的取值范围是 $\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$．
根据题意，$\angle PMA$ 恒为直角，因此点 $M$ 的轨迹是以 $PA$ 为直径的圆\[(x+1)(x-1)+(y-0)(y+2)=0,\]即\[x^2+(y+1)^2=2,\]因此线段 $MN$ 长度的取值范围是 $\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$．
答案
解析
备注
