已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，其中 $\omega >0$，$|\varphi|<\dfrac{\pi}2$．$x=-\dfrac{\pi}4$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点，$x=\dfrac{\pi}4$ 是函数 $f(x)$ 的一条对称轴，且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 上单调，求 $\omega$ 的所有可能的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1,3,5,9$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的零点与对称轴之间的距离\[\dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right)=k\cdot \dfrac{T}2+\dfrac{T}4,\]其中 $T$ 为函数 $f(x)$ 的周期，$k\in\mathbb N$．从而可得 $\omega =2k+1$，$k\in\mathbb N$．而函数 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 上单调，因此任何对称轴都不在区间 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 内，因为 $x=\dfrac {\pi}4$ 是 $f(x)$ 的对称轴，所以 $f(x)$ 的对称轴为 $x=\dfrac {n\pi}{2k+1}+\dfrac {\pi}4$，从而即\[\forall n\in\mathbb Z,\left(\dfrac{n\pi}{2k+1}+\dfrac{\pi}4\leqslant \dfrac{\pi}{18} \right)\lor \left(\dfrac{n\pi}{2k+1}+\dfrac{\pi}4\geqslant \dfrac{5\pi}{36} \right),\]也即\[\forall n\in\mathbb Z,\dfrac {n}{2k+1}\leqslant -\dfrac 7{36}\lor \dfrac {n}{2k+1}\geqslant -\dfrac 1{9}.\]容易验证当 $k=0,1,2,4$ 时符合题意，当 $k=3,5$ 时不符合题意，而当 $k\geqslant 6$ 时，有\[T=\dfrac {2\pi}{2k+1}\leqslant \dfrac {2\pi}{13}<2\left(\dfrac{5\pi}{36}-\dfrac {\pi}{18}\right),\]因此必然不符合题意．
综上所述，$\omega$ 的所有可能的值为 $1,3,5,9$．
综上所述，$\omega$ 的所有可能的值为 $1,3,5,9$．
答案
解析
备注
