已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，其中 $\omega >0$，$|\varphi|<\dfrac{\pi}2$．$x=-\dfrac{\pi}4$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点，$x=\dfrac{\pi}4$ 是函数 $f(x)$ 的一条对称轴，且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 上单调，求 $\omega$ 的所有可能的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1,3,5,9$
【解析】
首先，根据题意，函数 $f(x)$ 的零点与对称轴之间的距离\[\dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right)=k\cdot \dfrac{T}2+\dfrac{T}4,\]其中 $T$ 为函数 $f(x)$ 的周期，$k\in\mathbb N$，从而可得$$\omega =2k+1 , k\in\mathbb N.$$其次，由$$T=\dfrac {2\pi}{\omega}\geqslant 2\left(\dfrac 5{36}\pi-\dfrac {\pi}{18}\right)=\dfrac {\pi}6$$得$$\omega\leqslant 12,$$所以 $\omega$ 的所有可能取值为 $1,3,5,7,9,11$，对应的函数的周期分别为$$2\pi,\dfrac {2\pi}3,\dfrac {2\pi}5,\dfrac {2\pi}7,\dfrac {2\pi}9,\dfrac {2\pi}{11},$$只要区间 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 中无对称轴，就可以满足题意，所以直接考虑与对称轴 $x=\dfrac {\pi}4$ 附近的对称轴即可：
$\omega=1$ 时，$f(x)$ 的对称轴有 $-\dfrac 34\pi,\dfrac 54\pi\notin\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以 $\omega=1$ 满足；
$\omega=7$ 时，$f(x)$ 的对称轴有 $\dfrac {\pi}4-\dfrac {\pi}7=\dfrac 3{28}\pi\in\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以 $\omega=7$ 不满足；
类似逐个检验知 $\omega$ 的所有可能的值为 $1,3,5,9$．
$\omega=1$ 时，$f(x)$ 的对称轴有 $-\dfrac 34\pi,\dfrac 54\pi\notin\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以 $\omega=1$ 满足；
$\omega=7$ 时，$f(x)$ 的对称轴有 $\dfrac {\pi}4-\dfrac {\pi}7=\dfrac 3{28}\pi\in\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以 $\omega=7$ 不满足；
类似逐个检验知 $\omega$ 的所有可能的值为 $1,3,5,9$．
答案
解析
备注
