已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与该双曲线的左支交于 $A,B$ 两点，$AF_2,BF_2$ 分别交 $y$ 轴于 $P,Q$ 两点，若 $\triangle PQF_2$ 的周长为 $12$，求 $ab$ 取得最大值时双曲线的离心率 $e$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 3}3$
【解析】
根据题意，$\triangle PQF_2$ 的周长为 $\triangle ABF_2$ 的周长的一半，因此 $|AF_1|+|AF_2|$ 为定值 $12$，也即\[\dfrac{2b^2}{a}+2a=12.\]根据均值不等式，有\[12=\dfrac{2b^2}{a}+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3\geqslant 4\left(\dfrac{16}{27}a^2b^2\right)^{\frac 14},\]等号当 $\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2a}3$，即 $a^2=3b^2$ 时取得，此时 $4a^2=3c^2$，从而\[e^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac 43,\]因此 $e=\dfrac{2\sqrt 3}3$．
答案
解析
备注
