已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与该双曲线的左支交于 $A,B$ 两点，$AF_2,BF_2$ 分别交 $y$ 轴于 $P,Q$ 两点，若 $\triangle PQF_2$ 的周长为 $12$，求 $ab$ 取得最大值时双曲线的离心率 $e$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 3}3$
【解析】
根据题意，$\triangle PQF_2$ 的周长为 $\triangle ABF_2$ 的周长的一半，因此 $|AF_1|+|AF_2|$ 为定值 $12$，也即$$\dfrac {b^2}a+a=6.$$因为$$a^2-6a+b^2=0,$$所以可以令 $a=3+3\cos\theta,b=3\sin\theta$，得到\[\begin{split} ab=&9(1+\cos\theta)\sin\theta\\=&9\sqrt{(1+\cos\theta)^3\cdot(3-3\cos\theta)\cdot\dfrac 13}\\\leqslant &3\sqrt 3\cdot\sqrt{\left(\dfrac {3-3\cos\theta+3(1+\cos\theta)}4\right)^4}\\=&\dfrac {27}4\sqrt 3,\end{split}\]当 $1+\cos\theta=3-3\cos\theta$，即 $\cos\theta=\dfrac 12$ 时取到等号，此时 $a=\dfrac 92,b=\dfrac 32\sqrt 3$，所以 $e=\dfrac 23\sqrt 3$．
答案
解析
备注
