已知 $f(x)=x{\rm e}^x+ax^2-x$，当 $x\geqslant 0$ 时，$f'(x)-f(x)\geqslant (4a+1)x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$
【解析】
题中不等式即\[{\rm e}^x\geqslant ax^2+2ax+1,\]令 $g(x)={\mathrm e}^x-(ax^2+2ax+1)$，考虑到 $g(0)=0$，而\[g'(x)={\rm e}^x-2ax-2a,\]于是 $g'(0)=1-2a$，得到讨论的分界点为 $\dfrac 12$．
情形一 $a>\dfrac 12$．
此时\[g''(x)={\rm e}^x-2a,\]于是在区间 $(0,\ln 2a)$ 上，$g''(x)<0$，$g'(x)$ 单调递减，结合 $g'(0)<0$ 可得 $g'(x)<0$，于是 $g(x)$ 单调递减，结合 $g(0)=0$，可得 $g(x)<0$，不符合题意．
情形二 $a\leqslant \dfrac 12$．
此时\[g(x)\geqslant {\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1,\]容易证明\[{\rm e}^{-x}\left(\dfrac 12x^2+x+1\right)\leqslant 1,\]符合题意．
综合以上情形可得 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．
此时\[g''(x)={\rm e}^x-2a,\]于是在区间 $(0,\ln 2a)$ 上，$g''(x)<0$，$g'(x)$ 单调递减，结合 $g'(0)<0$ 可得 $g'(x)<0$，于是 $g(x)$ 单调递减，结合 $g(0)=0$，可得 $g(x)<0$，不符合题意．
此时\[g(x)\geqslant {\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1,\]容易证明\[{\rm e}^{-x}\left(\dfrac 12x^2+x+1\right)\leqslant 1,\]符合题意．
综合以上情形可得 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．
答案
解析
备注
