已知抛物线 $y=\dfrac 14x^2$ 和 $y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$ 所围成的封闭曲线如图所示，给定 $A(0,a)$，若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点 $A$ 对称，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 52,4\right)$
【解析】
首先，在同支抛物线上恰好存在一对关于 $y$ 轴对称的点满足要求；另两对点必然是分别在两支抛物线上的，且另两对点分别关于 $y$ 轴对称，于是设 $M\left(m,\dfrac 14m^2\right)$ 为抛物线 $y=\dfrac 14x^2$ 上一点，且 $m\in(-4,0)$，它关于 $A$ 的对称点 $N\left(-m,2a-\dfrac 14m^2\right)$ 在抛物线 $y=-\dfrac 1{16}x^2+5$ 上，所以有$$2a-\dfrac 14m^2=-\dfrac 1{16}m^2+5,$$于是有$$a=\dfrac 3{32}m^2+\dfrac 52,m\in(-4,0),$$所以 $a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac 52,4\right)$．
答案
解析
备注
