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设函数 $f(x)=\dfrac 1x$，$g(x)=ax^2+bx$（$a,b\in\mathbb R\land a\ne 0$）．若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
A: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2>0$
B: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$
C: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2<0$
D: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2>0$
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
    >
    三次方程的韦达定理
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2},\]且 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程\[ax^3+bx^2-1=0\]的实根，不妨设\[ax^3+bx^2-1=a\left(x-x_1\right)^2\left(x-x_2\right),\]则根据三次方程的韦达定理，有\[\begin{cases}2x_1+x_2=-\dfrac ba,\\ x_1^2+2x_1x_2=0,\\ x_1^2x_2=\dfrac 1a,\end{cases}\]于是 $x_1=-2x_2$，进一步有 $x_2$ 与 $a$ 同号，$x_1+x_2=-x_2$ 与 $a$ 异号，$x_1x_2=-2x_2^2$ 必然为负实数，$y_1+y_2$ 与 $a$ 同号，选项B正确．
题目 答案 解析 备注
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