已知函数 $f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中 $c>0$．若对于任意的 $x\in (0,+\infty)$，都有 $f(x)\leqslant 1$，求实数 $c$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$
【解析】
根据题意，有\[\forall x>0,{\log_2}x-2{\log_2}(x+c)\leqslant 1,\]即\[\forall x>0,\dfrac{x}{(x+c)^2}\leqslant 2,\]也即\[\forall x>0,c\geqslant \sqrt{\dfrac x2} -x.\]而\[\sqrt{\dfrac x2}-x=\sqrt {x}\left(\sqrt{\dfrac 12}-\sqrt x\right)\leqslant \dfrac 18,\]等号当 $x=\dfrac {1}8$ 时取得．
因此实数 $c$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
因此实数 $c$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
