设 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，且 $a\leqslant b\leqslant c$，定义 $\triangle ABC$ 的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，求 $\triangle ABC$ 的倾斜度；标注答案$1$解析因为 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，
情形一 若三边分别为 $x,x,y,x\leqslant y$，则\[t=\max\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}=\dfrac yx\cdot\dfrac xy=1.\]情形二 若三边分别为 $x,y,y,x\leqslant y$，则\[t=\max\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}=1.\]综上，$\triangle ABC$ 的倾斜度为 $1$． -
若 $a=1$，求 $t$ 的取值范围．标注答案$\left[1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$解析若 $a=1$，则\[t=\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\} \cdot \min\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\},\]考虑三者两两相等，得到关于 $c$ 的讨论分界点为 $\dfrac 1b,\sqrt b,b^2$．
考虑到 $1\leqslant b\leqslant c$，最终得到的讨论分界点为 $b^2$．情形一 $b\leqslant c < b^2$．
此时\[t=c\cdot \dfrac 1b=\dfrac cb,\]考虑到 $c<1+b$，于是\[1\leqslant t<\min \left\{b,\dfrac 1b+1\right\}=\dfrac{1+\sqrt 5}2.\]情形二 $c\geqslant b^2$．
此时\[t=c\cdot \dfrac bc=b,\]考虑到 $c<1+b$，于是\[t+1>t^2,\]解得\[1\leqslant t<\dfrac{1+\sqrt 5}2.\]综上所述，$t$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
