设 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，且 $a\leqslant b\leqslant c$，定义 $\triangle ABC$ 的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，求 $\triangle ABC$ 的倾斜度；标注答案$1$解析因为 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，
情形一 若三边分别为 $x,x,y,x\leqslant y$，则\[t=\max\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}=\dfrac yx\cdot\dfrac xy=1.\]情形二 若三边分别为 $x,y,y,x\leqslant y$，则\[t=\max\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}=1.\]综上，$\triangle ABC$ 的倾斜度为 $1$． -
若 $a=1$，求 $t$ 的取值范围．标注答案$\left[1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$解析由题意知$$\dfrac ab\leqslant 1,\dfrac bc\leqslant 1,\dfrac ca\geqslant 1,$$所以$$\begin{split}t&=\dfrac ca\cdot\min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc\right\}\\ &=\min\left\{\dfrac ca\cdot\dfrac ab,\dfrac ca\cdot\dfrac bc\right\}\\ &=\min\left\{\dfrac cb,\dfrac ba\right\}\geqslant 1.\end{split}$$
情形一 $a=b$ 或 $b=c$，得 $t=1$；情形二 $a=1$ 时，$t=\min\left\{\dfrac cb,b\right\}$，而$$1\leqslant b\leqslant c< 1+b,$$所以$$t<\min\left\{\dfrac {1+b}b,b\right\}.$$记 $f(b)=\min\left\{\dfrac {1+b}b,b\right\}$，在坐标系 $bOy$ 中画出函数 $y=\dfrac {1+b}{b},y=b$ 的图象：
当 $\dfrac {1+b}{b}=b$，即 $b=\dfrac {1+\sqrt 5}{2}$ 时，$f(b)$ 有最大值$$b=\dfrac {1+\sqrt 5}{2},$$所以 $t<\dfrac {1+\sqrt 5}{2}$．
综上知，$t\in\left[1,\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
