已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac ax$，其中 $a>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若函数 $f(x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围；标注答案$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right]$解析根据已知，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x-a}{x^2},\]因此函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值，亦为最小值是\[f(a)=\ln a+1,\]考虑到\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\]所以$$\ln a+1\leqslant 0,a>0$$因此符合题意的实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right]$．
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求证：当 $a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$，$b\geqslant 1$ 时，$f(\ln b)>\dfrac 1b$．标注答案略解析问题即当 $a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$ 时，有\[\forall x>0,\ln x+\dfrac{a}{x}>\dfrac{1}{{\rm e}^x},\]等价于证明\[\forall x>0,\ln x+\dfrac{2}{{\rm e}x}-\dfrac{1}{{\rm e}^x}>0.\]考虑到 $x=1$ 时，左边的值为 $\dfrac{1}{\rm e}$，比较接近 $0$，尝试在 $x=1$ 处对指数部分进行切线放缩\[{\rm e}^x\geqslant {\rm e}x,\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得，于是\[LHS\geqslant \ln x+\dfrac{1}{{\rm e}x}.\]设右边为函数 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}x-1}{{\rm e}x^2},\]于是 $\varphi(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{\rm e}$ 处取得极小值，亦为最小值\[\varphi\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=0.\]这样就有\[\ln x+\dfrac{2}{{\rm e}x}-\dfrac{1}{{\rm e}^x}\geqslant \ln x+\dfrac{1}{{\rm e}x}\geqslant 0,\]且等号无法同时取得，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
