在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，求 $(c+a-b)(c+b-a)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(8\sqrt 2-8,8\right)$
【解析】
记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，$(c+a-b)(c+b-a)$ 为 $T$，则\[\begin{aligned}
S&=\dfrac 12ab\sin C,\\
T&=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-\cos C),
\end{aligned}\]这样就有\[\dfrac{T}{S}=\dfrac{4(1-\cos C)}{\sin C},\]接下来求 $\dfrac{1-\cos C}{\sin C}$ 的取值范围．由二倍角公式，可得\[\dfrac{1-\cos C}{\sin C}=\dfrac{2\sin^2\dfrac C2}{2\sin\dfrac C2\cos\dfrac C2}=\tan\dfrac C2,\]故取值范围为 $\left(\sqrt 2-1,1\right)$．最后可得 $T$ 的取值范围是 $\left(8\sqrt 2-8,8\right)$．
S&=\dfrac 12ab\sin C,\\
T&=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-\cos C),
\end{aligned}\]这样就有\[\dfrac{T}{S}=\dfrac{4(1-\cos C)}{\sin C},\]接下来求 $\dfrac{1-\cos C}{\sin C}$ 的取值范围．由二倍角公式，可得\[\dfrac{1-\cos C}{\sin C}=\dfrac{2\sin^2\dfrac C2}{2\sin\dfrac C2\cos\dfrac C2}=\tan\dfrac C2,\]故取值范围为 $\left(\sqrt 2-1,1\right)$．最后可得 $T$ 的取值范围是 $\left(8\sqrt 2-8,8\right)$．
答案
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